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Joignons SP, et menons la droite conjuguée harmonique de 
SP, par rapport au couple de droites l T Y, U,V,. Soient H,, K. 2 , 
H 3 et Hj, H 2 , H' 5 les points d’intersection de SP et de sa con¬ 
juguée, respectivement avec les droites S 2 U, S/T, S 2 V ; s et s' 
les points communs aux droites SS, et UU,, SS, et VV,. Les 
polaires des points U, s , U, par rapport à une conique quel¬ 
conque du faisceau, rencontrent la droite VV, aux points 
V, S.,, V, ; donc celle du point Hi coupe VV, en un point X tel 
que 
(W,XS a ) = ^UlhUis) = (VVjUjs'); 
donc 
X E=5 H s , 
car S 2 et s' étant conjugués par rapport au couple VV,, il doit 
en être de même des points X et H 3 . 
Les points IL, et H 3 sont donc réciproques par rapport à 
cette conique arbitrairement choisie; il en est de même des 
points H, et H 3 . Pour avoir le conjugué de P sur la droite SH',, 
par rapport à cette conique, il suffit donc de chercher le cor¬ 
respondant P' du point P, dans les ponctuelles projectives 
(SH,H-...) et (Hi, Hi, HJ...\ Ce point P' sera indépendant de la 
conique. 
Corollaire. Le lieu des pôles d’une droite, par rapport aux 
coniques du faisceau, est une conique circonscrite au triangle 
SS.S*. 
2. Si l’on projette du point S 2 , les ponctuelles projectives qui 
servent à déterminer le point P', on obtient deux faisceaux 
involutifs, ayant pour rayons doubles les côtés du quadrilatère 
passant par le point S 2 ; donc S 2 P' est la polaire du point P par 
rapport à ce couple de côtés, et on a le théorème : 
Les polaires d’un point réel, par rapport aux trois couples de 
cotés opposés d'un quadrilatère, formé par deux couples de points 
imaginaires conjugués, passent par un même point. 
3. Sur une droite quelconque, les trois couples de côtés 
opposés du quadrilatère, décrivent une involution; les points 
