( 25 ) 
ponctuelles projectives, ayant pour points doubles a et a 
(n°8,§ V), et pour points correspondants les points I et J, I' et J' 
déterminés sur la sécante, par les rayons correspondants dans 
ces faisceaux, A(SUTV) et B(SUTV), A(SYTU) et B(SVTU); mais 
les points I et I sont imaginaires conjugués, ainsi que J et J' ; 
par conséquent (n° 7, § Y), les couples aa', IJ' et l'J sont en 
involution. Mais IJ' et l'J sont deux couples de l’involution 
déterminée par le quadrilatère; le théorème de Desargues est 
donc démontré dans le cas qui nous occupe. Les démonstra¬ 
tions des théorèmes de Sturm et de Lamé, sont les memes que 
dans le cas du quadrilatère complètement réel. On verrait 
d’ailleurs, comme dans le n° 4 de ce paragraphe, que le 
théorème de Lamé est vrai pour un point imaginaire. 
§ VIII. 
Droites imaginaires de seconde espèce. 
1. Dans un système involutif gauche, les points correspon¬ 
dants décrivent sur chaque directrice, une involution. Toutes 
ces involutions sont projetées d’une directrice quelconque, 
suivant la même involution de plans conjugués,dans le système 
involutif gauche. Toutes ces involutions sont donc de même 
espèce. Si elles sont hyperboliques, les points doubles sont 
situés sur deux droites réelles (*). Si elles sont elliptiques, les 
points doubles, alors imaginaires, sont projetés d’une direc¬ 
trice r, suivant deux plans imaginaires conjugués, et partagés 
ainsi en deux groupes, tels que chacun d’eux est situé dans un 
plan imaginaire, passant par une directrice quelconque s du 
système. 
Soit (PPjP'Pj) un groupe représentatif d’un point double 
imaginaire sur la directrice p ; le faisceau r (PPtP'P,) détermine 
sur une directrice q, le groupe représentatif (QQiQ'Q',) d’un 
O Mathesis, t. X, p. 135. 
/ 
