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point double imaginaire. Les deux points (QQiQ'Qi) et(PP,P Pi', 
font partie d’un même groupe. 
En effet, ces deux points seront dans un plan imaginaire 
ayant pour support une directrice quelconque s , si les groupes 
s (PP.P'Pi) et s (QQiQ'Qi) sont concordants, car ils définissent 
la même involution. L’hypothèse de la non concordance de 
ces groupes, entraîne la réalité des éléments doubles des deux 
séries projectives, que l’on obtient en coupant les deux fais¬ 
ceaux s (PPjP'Pi) et r (PP,P Pj) par la droite q. Cette droite est 
donc coupée par deux rayons du système réglé (rps) en deux 
points M et M,. Ces rayons et la droite q étant des directrices 
du système involutif gauche, M et M t seraient des points 
doubles réels de ce système; ce qui est impossible. 
On a donné à chacun de ces groupes, le nom de droite ima¬ 
ginaire de seconde espèce; chaque point de l’une a son conjugué 
sur l’autre; de là le nom de droites imaginaires conjuguées 
donné à ces deux droites. Donc : 
Un système involutif gauche elliptique représente deux droites 
imaginaires conjuguées de seconde espèce. On distingue ces deux 
droites , par le sens de succession des éléments de la ponctuelle ou 
de faisceau , ayant pour support ou pour axe une directrice. 
Une droite imaginaire de seconde espèce ne possède aucun 
point réel, et n’est située dans aucun plan réel. Elle diffère en 
cela de la droite imaginaire définie au § I, et que l’on appelle 
droite imaginaire de première espèce. 
2. Deux points imaginaires dont les supports 7 et a-, ne sont 
pas dans un même plan, déterminent un système involutif gauche. 
Les directrices de ce système sont les supports des plans imagi¬ 
naires , qui passent par les deux points donnés. 
Par un point quelconque P de l’espace, menons la droite qui 
s’appuie sur les supports a- et cr t , en des points A et A,. Ces 
points sont les origines de deux groupes représentatifs harmo¬ 
niques (ABA'B') et (AjB,AjB'i), des points imaginaires donnés. 
Les droites AA,, BB,, A'AJ, B'Bi font partie d’un système réglé 
dont une directrice o* passe par le point P. Celte directrice 
