( 28 ) 
dont tes directrices sont les supports des points communs aux 
deux plans imaginaires . 
Corollaires. 1. Une droite imaginaire de seconde espèce est 
déterminée par deux points imaginaires, dont les supports ne 
sont pas dans un même plan. 
11. Une droite imaginaire de seconde espèce est l’intersec¬ 
tion de deux plans imaginaires, dont les supports ne sont pas 
dans un même plan. 
3. Deux points K et K' conjugués dans le système involutif 
gauche, sont conjugués par rapport à l’hyperboloïde ayant 
pour génératrices, trois directrices a-, <r,, a* du système invo¬ 
lutif. Les points doubles de ce système sont donc situés sur 
l’hyperboloïde, et l’on peut dire que les droites imaginaires 
conjuguées, dont le système involutif est le système représen¬ 
tatif, sont des génératrices imaginaires de la surface réglée. 
Chacune de ces génératrices rencontre les génératrices de 
même système que les droites a-, et n’a aucun point commun 
avec les génératrices de l’autre système. On dit que ces géné¬ 
ratrices imaginaires appartiennent à ce dernier système. 
4. L’ensemble des directrices d’un système involutif gauche, est 
réciproque à lui-même par rapport à un hyperboloïde , déterminé 
par trois directrices a-, cr lt a\, de ce système. 
En effet, si il est une directrice, les faisceaux involutifs qui 
projettent de a- et cr, l’involution ayant pour support or 2 , déter¬ 
minent sur la droite u la même involution; par conséquent, 
si v est la droite conjuguée de u par rapport à l’hyperboloïde, 
les deux involutions situées sur les droites <j et a-,, seront pro¬ 
jetées de v, suivant la même involution de plans; t’est donc 
une directrice du système involutif gauche. 
5. Par un point, imaginaire d’un hyperboloïde, passent deux 
génératrices de systèmes differents de cette surface ; elles déter¬ 
minent le plan tangent au point considéré. 
Nous supposerons d’abord que son support u ne soit pas 
