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une génératrice de l’hyperboloïde. Soient a-, a-,, a, trois généra¬ 
trices de même système; projetons de la droite a*, un groupe 
représentatif (KK t K K') du point imaginaire donné; le faisceau 
obtenu détermine sur les droites a-, <j, deux groupes représen¬ 
tatifs (RR,R Ri) et (TT|TTi) de deux points imaginaires. La 
droite qui les joint, est une génératrice imaginaire de l’hyper- 
boloïde appartenant au système de génératrices, dont <7 est une 
directrice. Cette droite imaginaire passe par le point (KK,K'K',). 
En effet, un plan mené par le support il, coupe la surface sui¬ 
vant une conique, et les faisceaux en involulion 7 (TT', T,TJ), 
0*1 (RR', RiR'é, ar 2 (RR', RiR'i) suivant trois involutions de rayons 
ayant leurs centres S, S,, S 2 sur la courbe. Ces dernières invo¬ 
lutions déterminent sur la conique la même involution. Mais 
celle qui a pour centre le point S*, détermine sur la droite u, 
une involution de points conjugués par rapport à la conique;, 
il en sera donc de même des deux autres. La droite KK' est 
donc une directrice du système involutif, déterminé par les 
points imaginaires (RR,R'Ri) et (TT,T'Ti). 
On trouverait de même une génératrice imaginaire de l’hy¬ 
perboloïde passant par le point (KKjK'Ki), et appartenant à 
l’autre système de génératrices. Ces deux génératrices imagi¬ 
naires coupent la droite v, réciproque de la droite u par rap¬ 
port à l’hyperboloïde. Elles sont donc situées dans le plan ima¬ 
ginaire v (KK.K'KJ), qui est le plan tangent à la surface au point 
imaginaire (KKjK K',) (n° 8, § II). 
Si le support u est une génératrice <t 2 , la génératrice imagi¬ 
naire passant par le point imaginaire (KK,K'Kj), est l'intersec¬ 
tion des plans imaginaires a- (KK,K K',) et a-, (KK,K'K',). Soit 
(RRiR'R't) le point de cette droite situé sur la droite <7; le 
plan u (RRiR'Ri) est le plan tangent au point (KK,K'K',), et il 
contient les deux génératrices passant par ce point. 
6. Dans un hyperboloïde, deux génératrices imaginaires de 
systèmes différents, ont toujours un point commun. 
Considérons deux génératrices réelles de la surface, se cou¬ 
pant au point M. Chacune de ces génératrices est le support 
