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4. Tout plan réel rencontre la cubique au moins en un 
point réel, que nous désignerons par S. Dans le cas où il n’y 
a qu’un seul point réel de la courbe situé dans le plan, celui-ci 
contient une sécante idéale. En effet, le rayon polaire g du 
plan par rapport au cône (S), sera intérieur à cette surface; un 
plan mobile autour de g , détermine donc sur la cubique, une 
involution ayant pour éléments doubles, deux points imagi¬ 
naires conjugués, dont le support est dans le plan considéré. 
Tout plan imaginaire ayant pour support une semi-sécante, 
rencontre la cubique en deux points imaginaires. Soit S le 
point d’appui de la semi-sécante avec la cubique. Le plan 
imaginaire donné coupe le cône (S), suivant deux génératrices 
imaginaires, ayant pour supports deux plans -et Chacun 
de ces plans contient deux points imaginaires conjugués de la 
cubique, et l’un de ces points sera sur la génératrice imagi¬ 
naire située dans le plan. Les deux points imaginaires ainsi 
déterminés, sont dans le plan imaginaire donné. 
Un plan imaginaire ayant pour support une sécante réelle s, 
contient un point imaginaire de la courbe. 
Soit (abcd) un groupe représentatif de ce plan; les plans 
a, b , c, ci déterminent sur la cubique, le groupe (ABCD) d’un 
point imaginaire de cette courbe. Si / est le support de ce 
point, on obtient un groupe représentatif, en projetant d’une 
sécante réelle le groupe (ABCD) sur la droite /; donc le groupe 
s (ABCD) ou (abcd), est perspectif et concordant à un groupe 
représentatif du point imaginaire trouvé. Ce dernier est donc 
dans le plan imaginaire (abcd). 
5. Les sécantes réelles, idéales ou imaginaires passant par 
deux points correspondants d’une involution, engendrent un 
système réglé (*). 
Soit S un point réel de la courbe ; si l’on joint ce point aux 
couples de points correspondants de l’involution, on a sur le 
cône (S) perspectif à la courbe, une involution de génératrices. 
O Chasles, toc . cit ., p. 192, n° 21. 
Tome XLIX. 
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