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Si le support du point (MNPQ) est une semi-sécante g , ce 
point est sur l’hyperboloïde engendré par les sécantes s’ap¬ 
puyant sur #; par ce point passe une génératrice de système 
contraire à celui de g. Cette génératrice est la sécante cher¬ 
chée. 
§ II. 
Droites associées réelles. 
1. Soient S et S' deux points de la cubique; les faisceaux 
qui projettent des tangentes en S et S', les points de la 
cubique, engendrent un hyperboloïde. Les plans tangents à 
cette surface aux points S et S' sont osculateurs à la cubique 
en ces points, et renferment deux génératrices# et g' qui sont 
des semi-sécantes de la courbe. 
Crémona appelle ces droites : droites associées par rapport 
à la cubique (*). Toute sécante réelle, idéale ou imaginaire 
s’appuyant sur la droite g est une génératrice de l’hyper- 
boloïde; elle rencontrera donc aussi la droite g'. 
2 . Si la sécante est réelle ou idéale, ses points d’appui sur les 
droites g et g', sont conjugués par rapport à la cubique (**). 
Car les points S et S' sont conjugués dans l’involution, dont 
les points doubles sont sur la sécante réelle ou idéale; ils sont 
donc projetés sur cette sécante, de la tangente en S prise 
comme axe, suivant deux points conjugués par rapport à la 
cubique. 
La cubique se correspond donc à elle-même, dans une 
infinité de systèmes involutifs gauches hyperboliques. 
Corollaire. Les droites associées dont les points d’appui sur 
la cubique, forment une involution, coupent la sécante réelle 
ou idéale, qui joint les points doubles de l’involution. 
(*) Cremona, Mémoire de géométrie pure sur les cubiques gauches 
(Nouvelles Annales de Mathématiques, 1862). — Cet important travail 
contient des renseignements bibliographiques, qui nous ont été très 
utiles. 
(**) Idem, toc. cit., p. 299. 
