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2. La projectivité entre deux séries de points, est déterminée 
par trois couples de points correspondants AA,, BB,, CC,. 
Soient E et F les éléments doubles réels ou imaginaires conju¬ 
gués des deux séries; les couples de points AB 4 , A,B, EF sont 
en involution (n° 7, § V) ; donc, si S est un point de la cubique, 
Finterseclion des plans SAB, et SA 4 B s’appuie sur la sécante EF. 
Par conséquent : 
Si un hexagone (AB,CA,BC 4 ) est inscrit clans une courbe gauche 
du troisième ordre , les droites menées d’un point quelconque S de 
la courbe, et s’appuyant sur les couples de côtés opposés, rencon¬ 
trent une sécante fixe de la courbe (*). Cette sécante joint les points 
doubles des séries projectives AA 4 , BB 4 , CC,. 
Nous appelons cette sécante, la pascale de l’hexagone. 
3. Les points A, B, C définissent une projectivité cyclique, 
qui correspond, dans les séries projectives (AA,, BB,, CC,), à la 
projectivité cyclique définie par le terme A 4 B 4 C 4 . Soient aa', 
pp' les points doubles imaginaires conjugués de ces deux 
projectivités. Si AB' sont les conjugués des points A et B, 
respectivement par rapport aux couples BC et AC, les groupes 
représentatifs des points a et a' seront (ABA'B') et (AB'A'B). 
De même, les points p et P' sont représentés par (A,B 4 A',B',) et 
(a,b;a',b,). 
Mais les points A' et Aî, B' et B, sont correspondants dans 
les séries projectives (AA 4 , BB,, CC 4 ); donc a et p, a' et P' sont 
aussi correspondants dans ces deux séries. Si EF sont les 
points doubles, les couples EF, aP', a'p sont en involution ; 
donc la droite EF est une génératrice de l’hyperboloïde H^,, 
ayant pour génératrice imaginaire la sécante aP', et passant par 
la cubique. 
Si l’on fait une permutation circulaire des points A t , B,, C,, 
on obtient l’hexagone (AC 4 CB,BA 4 ); si E 4 F, sont les points 
C) Cremona, Journal de Crelle, t. LVIII, p. 145. — Sur quelques pro¬ 
priétés des lignes gauches de troisième ordre et de troisième classe, § IV, 
n° 12. 
