Plan osculateur imaginaire. 
1. Soient AC, RD deux couples de points sur la cubique, défi¬ 
nissant une involution elliptique. Une tangente quelconque à 
une conique (a-) inscritedans la développable osculatrice(*), étant 
l’intersection de deux plans osculateurs, les plans osculateurs 
aux couples de points AC, BD,... décriront sur cette tangente, 
des couples de points conjugués dans une même involution. 
Mais les traces de ces plans sur le plan osculateur <j, sont tan¬ 
gentes à la conique (a-); leurs points de contact décrivent donc 
une involution elliptique sur cette courbe. Nous représenterons 
pai' P le pôle de cette involution, et par A 2 , B. 2 , C-, D 2 les points 
d’intersection des plans osculateurs aux points A, B, C, D avec 
la droite (acr,), a-, étant un plan osculateur à la cubique. 
P (A 2 B 2 C 2 D 2 ) est un groupe représentatif d’une tangente imagi¬ 
naire, menée du point P à la conique (<r). Si P, est le pôle de 
Pinvolution analogue sur le plan a-,, P, (A 2 B 2 C 2 D 2 ) est le groupe 
représentatif d’une tangente menée du point P, à laconique(o-,). 
Ces deux tangentes sont dans le plan imaginaire PP, (A 2 B. 2 C 2 D->), 
lequel sera coupé par un plan osculateur quelconque <r 2 , sui¬ 
vant une tangente imaginaire à la conique (<r 2 ). En effet, du 
point P 2 , intersection de la droite PP, avec le plan a\ 2 , on pro¬ 
jette les involutions situées sur les droites (o-tJ et (<7,<7 2 ), suivant 
la même involution de rayons; le point P 2 est donc le pôle de 
Pinvolution sur la conique (ar. 2 ), et par conséquent, le plan ima¬ 
ginaire PP, (A. 2 B 2 C. 2 D. 2 ) coupe le plan cr 2 , suivant une tangente 
à la conique (<jJ. Nous dirons que le plan PP, (A 2 B. 2 C. 2 D 2 ) est un 
plan imaginaire osculateur à la cubique. Par la droite PP,, on 
peut donc mener deux plans osculateurs imaginaires conju¬ 
gués. 
O Môbius, Barycentrische Calcul, p. 121. 
