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2. Soient S et S t deux points de la cubique conjugués dans 
l’involution (ÀC, BD), t s et t, les tangentes à la courbe en ces 
points. Dans le plan osculateur cr, les points S et (t s , <r) sont en 
ligne droite avec le pôle P de l’involution; dans le plan oscu¬ 
lateur <r,, les points S 1? (t s , or,) sont collinéaires. Les deux 
droites PS et P,S, sont les deux droites associées, qui s’appuient 
en S et en S, sur la cubique; donc les plans PP t S et PPiS, 
coupent la droite qui joint les points doubles de l’involution 
(AG, BD), en deux points conjugués par rapport à ces points 
(n° 2, § II). Mais ces deux plans sont conjugués dans l’involu- 
tion, qui représente les plans osculateurs imaginaires ayant 
pour support la droite PP! ; donc ces plans passent par les 
points doubles de l’involution (AC, BD). Nous appellerons ces 
points imaginaires, les points de contact des points oscillateurs 
imaginaires. 
Les développements qui précèdent, démontrent les théo¬ 
rèmes suivants : 
Les couples de droites associées, dont les points d’appui sur la 
cubique forment une involution, rencontrent deux droites fixes ; 
l’une joint les points doubles de cette involution; l'autre est l’in¬ 
tersection des plans osculateurs aux mêmes points. 
Soient a, {3, y, o quatre plans osculateurs fixes, <r un plan 
osculateur variable , (a - ) la conique inscrite dans la développable 
osculatrice à la cubique et située dans le plan a- ; le pôle, par 
rapport à cette conique, de la droite qui unit les points (aya-), 
((38a), décrit une droite , intersection de deux plans oscillateurs. 
3. Soient A, B, C trois points réels de la courbe, E, F les 
points doubles imaginaires conjugués de la projectivité cyclique 
(AB, BC, CA). Le point B est un point double de l’involution 
définie par les deux couples de points AC, EF (n° 7, § V); donc 
la semi-sécante du plan osculateur au point B, qui rencontre 
la sécante AC, doit couper la droite EF. Le plan osculateur au 
point B passe donc par le point d’intersection 0, de la droite 
EF avec le plan ABC. Par conséquent : 
Les points osculateurs en trois points réels A, B, C d’une courbe 
