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gauche du troisième ordre, se coupent en un point du plan ABC (*). 
La sécante qui passe par ce point, joint les plans doubles de la 
projectivité cyclique déterminée par le terne ABC. Cette sécante est 
donc idéale. 
4. Soient A,, B,, C, les conjugués des points A, B, C respec¬ 
tivement par rapport aux couples de points BC, CA, AB. Les 
plans osculateurs aux points A t , B 1? C, se coupent en un 
point 0], situé sur la sécante EF, car A 1 B J C 1 est un terne de la 
projectivité cyclique ayant pour points doubles E, F. Les 
couples AA 4 , BB,, CC, faisant partie de l’involution (EE, FF), 
les couples de droites associées AO et AiO,, BO et B 1 0 1 , CO et 
C,0, sont coupés par deux droites (n° 2, § IV); l’une de ces 
droites est la sécante EF, et l’autre est l’intersection des plans 
osculateurs aux points E et F. Cette dernière droite est donc 
l’intersection des deux plans ABC, A^C,. Par conséquent : 
Un plan rencontrant la cubique en trois points réels A, B, C ren¬ 
ferme le support de deux plans osculateurs imaginaires conjugués. 
Les points de contact sont les points doubles de la projectivité 
cyclique , définie par le terne ABC. 
5. Soit <p le support de deux plans osculateurs imaginaires 
conjugués, dont E et F sont les points de contact. Un plan 
quelconque tz mené par la droite cp, rencontre la courbe au 
moins en un point réel A. Ce point définit un terne ABC de la 
projectivité cyclique, ayant pour points doubles les points E et 
F. On a vu au numéro précédent que la droite cp devait se 
trouver dans le plan ABC; ce plan est donc le plan tz et on peut 
dire : Tout plan mené par le support de deux plans osculateurs 
imaginaires conjugués, rencontre la courbe en trois points réels (**), 
formant un terne de la projectivité cyclique, ayant pour points 
doubles les points de contact des plans osculateurs considérés. Un 
O Chasles, loc. cit., p. 193, n° 41. 
(") Jôachimsthal, Journal de Crelle, t. LVI, p. 43. — Cremona, Annali 
di Matematica, gennaio-febbraio 1839. 
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