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plan ne peut contenir qu’une seule intersection de deux plans 
osculateurs imaginaires conjugués. Cela résulte de la propriété 
géométrique de cette droite, relativement aux trois points de la 
courbe situés dans ce plan. 
6. Soit 7t un plan rencontrant la courbe en un point réel A 
et en deux points imaginaires conjugués B et C. Désignons 
par Aj le conjugué du point A par rapport au couple BC. Le 
point A, définit un terne AiEF de la projectivité cyclique, 
ayant pour éléments doubles les points B et C. 
Nous avons vu que les plans osculateurs aux points A t , E, F 
se coupent au point d’intersection a de la sécante BC avec 
le plan AjEF. Soit 0 le point où la sécante EF coupe le 
plan ABC. La droite A t a située dans le plan osculateur au 
point Aj, et rencontrant les sécantes BC et EF, a pour associée 
une droite passant par le conjugué A du point A! par rapport 
au couple BC, et s’appuyant sur les mêmes droites. Cette droite 
associée à la droite A^ est donc AO. Mais l’intersection des 
plans osculateurs (3 et y aux points B et C, est située dans le 
plan AjEFa (n° 4, § IV); cette droite coupe donc la droite A,a 
et aussi son associée AO ; elle passe donc par le point d’inter¬ 
section du plan A,EFa avec la droite AO, c’est-à-dire par le 
point 0. Les plans osculateurs aux points A,B,C passent donc 
par un point 0 du plan ABC, et la sécante issue de ce point 
est réelle. Les points A et A| sont conjugués dans l’involu- 
tion (EE, FF); donc l’intersection <p des plans osculateurs aux 
points E et F rencontre les droites AO et A t a; mais cette 
droite <p passe par le point a; elle est donc tout entière dans le 
plan ABC; par conséquent : 
Si un plan tz rencontre la cubique en un point réel A et en deux 
points imaginaires conjugués B et C, les plans osculateurs à la 
courbe en ces points se coupent en un point 0, situé dans le 
plan ABC. La sécante issue de ce point , rencontre la courbe en 
deux points réels E et F, et les plans osculateurs en ces points se 
coupent dans le plan ABC. Si A, est le conjugué du point A par 
rapport au couple BC , le terne A 4 EF fait partie de la projectivité 
cyclique , ayant pour éléments doubles les points B et C. 
