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7. Soit ç> le support de deux plans osculateurs réels, dont E 
et F sont les points de contact ; un plan tz mené par la droite o, 
rencontre la courbe au moins en un point réel, que nous dési¬ 
gnerons par A. Soit le conjugué du point A par rapport au 
couple EF; BC les points doubles de la projectivité cycli¬ 
que (EF, FA H A t E); le plan ABC passera par la droite cp et sera 
identique au plan tu. Donc : 
Tout plan passant par le support de deux plans osculateurs 
réels , ayant pour points de contact les points E et F, rencontre la 
cubique en un point réel A et en deux points imaginaires conju¬ 
gués B etC (*). Les deux points E et F font partie du même terne 
dans la projectivité cyclique, ayant pour éléments doubles les 
points B et C. 
Corollaire. Un plan ne peut renfermer qu’une seule droite, 
qui soit l’intersection de deux plans osculateurs réels (**). Des 
n ÜS 5 et 7 on conclut qu’il ne peut contenir deux droites, telles 
que l’une soit l’intersection de deux plans osculateurs réels, et 
l’autre l’intersection de deux plans osculateurs imaginaires 
conjugués. 
8 . Soit 0 un point situé sur une sécante idéale EF ; menons 
le plan tu passant par le point 0 et l’intersection <p des plans 
osculateurs à la cubique aux points E et F. Ce plan rencontre 
la cubique en trois points réels A, B, C et les plans oscula¬ 
teurs a, (3, y en ces points, passant par le point 0. Ce point ne 
peut plus être situé dans un plan osculateur réel ô, sinon les 
droites (aS), (y8) seraient dans un même plan. Si 8 était imagi¬ 
naire, son conjugué 8' passerait aussi par le point 0 et les 
droites (a|3), (88') seraient dans un même plan. 
Par conséquent : Par un point situé sur une sécante idéale , 
on peut mener trois plans osculateurs réels à la courbe; leurs 
points de contact sont situés dans un plan passant par le point 
considéré. 
O Joachimsthal, loc. cit. — Cremona, Annali di Matematica, gen- 
naio-febbraio, 1859. 
(**) Schroeter, Journal de Crelle, t. LVI, p. 33. 
