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9. Si le point O est sur une sécante réelle EF, on mène le 
plan (O, y>), <p étant l’intersection des plans osculateurs aux 
points E et F. Ce plan rencontre la courbe en un point réel A 
et en deux points imaginaires conjugués B et C. Les seuls plans 
osculateurs passant par le point 0, sont ceux qui ont pour 
points de contact les points À, B, C. 
Donc : Par un point situé sur une sécante réelle, on peut mener 
trois plans osculateurs à la courbe, un réel et deux imaginaires 
conjugués. Leurs points de contact sont dans un plan passant 
par le point donné. 
Corollaire. Les courbes gauches du troisième ordre sont 
aussi de troisième classe (*). 
9. Une sécante de la cubique gauche contient une infinité de 
points conjugués deux à deux. Chaque couple de points conjugués 
donne six plans osculateurs, dont les points de contact sont en 
involution; les involutions correspondant à tous ces couples, con¬ 
stituent une involution unique, ayant pour éléments doubles les 
points de la cubique situés sur la sécante (**). 
Si la sécante est idéale, ce théorème résulte de ce qui a été 
dit au n° 4 de ce paragraphe. Si la sécante EF est réelle, en 
reprenant les notations du n° 6, le conjugué (b du point 0 sera 
situé sur la droite A 4 a associée de AO, et les points de con¬ 
tact B, et Cj des plans osculateurs imaginaires passant par 0 t , 
sont les point doubles de la projectivité cyclique (AE, EF, FA); 
car 
(AA,EF) = — 1. 
Dans l’involution ayant pour points doubles E, F, à la 
projectivité cyclique (EF, FAj, AjE) correspond la projectivité 
cyclique (EF, FA, AE); donc les deux points imaginaires B 
et C ont pour correspondants dans cette involution les deux 
points imaginaires Bj et C*. Supposons B etBj correspondants 
ainsi que C et C, ; nous voyons que les couples AA,, BB,, CC, 
appartiennent à une involution, ayant pour éléments doubles 
les points E et F. 
(’) Schroeter, Journal de Crelle, p. 36. 
(**) Cremona, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2 e série, 1.1, p. 301. 
