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six points A, B, C, A', B', C' sont réels et les côtés CB, AC, BA, 
C'B', A'C', B'A' des deux triangles ABC, A'B'C' déterminent 
sur la droite (ww') les six points a, (3, y, a', |3', y'. La sécante BC 
rencontre les deux droites associées AO et A O'; cette dernière 
passera donc par le point a, et le faisceau qui projette de la 
tangente au point A les quatre points A, A', B, C, est har¬ 
monique ; donc si D est le point commun aux droites AO et BC, 
la section (BCDa), faite dans ce faisceau par la droite BC, sera 
aussi harmonique. Le point a appartient donc à la polaire 
harmonique du point O, par rapport au triangle ABC. Il en 
sera de même des points 3 et y. Donc : Dans un plan rencon¬ 
trant la courbe en trois points réels A, B, C, est située l'inter¬ 
section (m,ü)') de deux plans osculateurs imaginaires conjugués. 
Le point de rencontre 0 des plans osculateurs aux points A, B, C 
est le pôle de la droite (wu), par rapport au lî'iangle ABC (*). 
3. Lorsque l’on construit la polaire du point 0 par rapport 
au triangle ABC, on peut le faire sans s’appuyer sur la réalité 
des points B et C. La droite AO coupe le support des points B 
et C en un point D; le point a', déterminé par l’égalité 
(ADOa') = — 2, 
est un point de la polaire harmonique cherchée. Un second 
point de cette droite, est le correspondant a du point D dans 
l’involution, qui a pour éléments doubles les points B et C. 
Cela étant, nous allons montrer que la droite (uu'j est encore 
la polaire harmonique du point 0, par rapport au triangle 
ABC, dans le cas où les points B et C sont imaginaires con¬ 
jugués. Soit A' le conjugué harmonique du point A par rap¬ 
port au couple BC, et 0' le point où se coupent les plans 
osculateurs, aux points de la courbe situés dans le plan 
[A' (w, w')]. La droite 00' sera la corde des contacts EF des plans 
osculateurs réels, qui passent par la droite (w, u'). La droite 
AO' coupe la tangente au point A en un point A[ et la sécante 
BC au point a, situé sur la droite (w, w'). La sécante idéale B'C' 
O Cremona, Nouvelles Annales de Mathématiques , 2 e série, 1.1, p. 296. 
