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donc le point a' est le conjugué du point a par rapport au 
couple p'y\ On déduit de là que les points doubles de l’invo- 
lution (aa', f(3', yy'j sont les points doubles de la projectivité 
cyclique (a|3, (3y, ya). La surface H 2 détermine sur le plan w, la 
conique locale des pôles du plan w'; on peut donc dire : Les 
côtés du triangle ABC déterminent sur la droite (w,w ) un terne 
de la projectivité cyclique , ayant pour éléments doubles les points 
de la droite (w, (*>'), situés sur la conique locale des pôles du 
plan w' (*). 
§ VI. 
Tangente imaginaire. 
1. Si l’on a une involution elliptique sur une cubique 
gauche, les droites AA', BB', qui joignent les points corres¬ 
pondants, engendrent un système réglé H,, dont nous repré¬ 
senterons les directrices par g. Les droites intersections des 
plans osculateurs aux mêmes points, engendrent un second 
système réglé H 2 , ayant pour directrices des droites p. Soient 
EetF les points doubles imaginaires conjugués de cette invo¬ 
lution, cp l’intersection des plans osculateurs aux points E et F. 
Les deux droites EF et cp sont conjuguées par rapport aux 
deux hvperboloïdes H, et H 2 , et chacune d’elles est le support 
d’une involution, dont les couples de points correspondants 
sont conjugués par rapport aux deux surfaces. Ces deux invo- 
lutions déterminent deux systèmes involutifs gauches, parmi 
lesquels nous distinguerons celui qui admet la droite AA' 
comme directrice. Menons les deux droites associées s’ap 
puyant en A et À' sur la cubique; elles coupent la sécante EF 
en deux points 0 et 0', et la droite cp aux points a' et a. Le 
système involutif gauche admettant AA' comme directrice, est 
caractérisé par les sens 00' et a'a, qu’on associe aux involu- 
tions considérées. Les droites associées AO et A'O' coupent * 
respectivement les tangentes à la courbe aux points A' et A, en 
deux points A, et A',, tels que A t AÎ est une génératrice de la 
0 Cremona, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2 e série, 1.1, p. 446. 
