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surface H 2 . La droite A,Ai est l’axe de deux faisceaux involutifs, 
perspectifs et concordants aux involutions considérées, avec 
leurs sens 00' et a'a; elle est donc une directrice du système 
involutif gauche considéré. On conclut de là que le second 
systèmeinvolutif gauche admet comme directrices, les systèmes 
de droites g et/;. 11 représentera donc deux génératrices ima¬ 
ginaires conjuguées, communes aux deux surfaces FL et H 2 , et 
de même système que les génératrices AA' et AjAJ. Ces deux 
droites imaginaires sont, par définition, les tangentes à la 
cubique aux points E et F. 
11 résulte de là que : Si un hyperboloide passe par la cubique 
gauche , ou s'il est inscrit dans la développable osculatrice à cette 
courbe, il existe deux génératrices réelles ou imaginaires conju¬ 
guées, tangentes à la cubique (*). 
2. Occupons-nous seulement de la tangente au point ima¬ 
ginaire E. La droite q? étant une droite directrice du système 
involutif gauche, qui représente cette tangente, le plan (<pEi 
contiendra la tangente à la cubique au point E. Donc : La 
tangente en un point imaginaire , est située dans le plan oscula - 
teur au même point. 
Le plan (cpE) est tangent aux deux hyperboloïdes FL et H 2 au 
point E; par conséquent : Si un hyperboloide passe par la 
cubique ou s'il est inscrit dans la développable , il existe deux 
génératrices tangentes aux points E et ¥ à la courbe. Les plans 
tangents en ces points à la surface réglée, sont osculateurs à la 
cubique. 
3. Par un point S de la courbe, passe une directrice g du 
système réglé FL. Cette droite est le support du plan tangent 
imaginaire (grE) au cône (S), le long de la génératrice SE ; mais 
g est une directrice du système involutif gauche; elle coupe 
donc la tangente au point E, et cette dernière droite est située 
dans le plan (g¥). Par conséquent : La tangente en un point 
imaginaire de la cubique , est tangente à tous les cônes perspectifs 
à la courbe. 
(*) Chasles, toc. cit., p. 193, n® 23. 
