3. J’en ai déjà donné, dans un de mes ouvrages (*), un 
exemple assez frappant, que je vais reproduire. 
Théorème. La somme des trois angles d’un triangle recti¬ 
ligne est égale à deux angles droits. 
Traduction en intervalles. Étant données, entre les 28 inter¬ 
valles (12), .... (78), de 8 points 1, .... 8 de l’espace, les 12 rela¬ 
tions (13) = (23), (14) = (24), (15) = (25), (16) = (26), (17) = 
(27), (18) = (28), (34) = (45), (35) = 2 (34), (36) = (37) = (48;, 
(46) =r= (47) = (58), on aura nécessairement la treizième rela¬ 
tion : (34) = (68), ou bien (34) = (78). 
4. Prenons encore un autre exemple : 
Formule : tr 2 = ft 2 -+- c- — 2 hc cos A. 
Traduction en intervalles. Étant données, entre les 10 inter¬ 
valles (12), .... (45), de 5 points de l’espace, les 2 relations : 
(14) ■+■ (24)= (12),(15) (35) = (13), on aura nécessairement 
la troisième relation : 
(12)* -+- (15) 2 — (23) 2 _(14) 2 -f-(15f—(45) 2 
‘ (12) (15) = (14) (15) 
5. Le dernier exemple montre, plus clairement encore que 
le premier, que l’idée d’angle est purement conventionnelle. Il 
en est de même des idées d'aire et de volume. En effet, de même 
que la longueur d’une ligne est l’intégrale d’un intervalle élé¬ 
mentaire, l’aire est l’intégrale d’un triangle et le volume l’in¬ 
tégrale d’un tétraèdre. Or, Faire du triangle et le volume du 
tétraèdre s’expriment en fonction de simples intervalles, et 
leur mesure peut leur servir de définition. 
(*) Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la méca¬ 
nique, p. 72. On a introduit 8 points au lieu de 7, pour éviter une 
objection qui ne portait pas sur le fond de l’idée, et que le lecteur trou¬ 
vera aisément en comparant les deux énoncés. 
