6. Mais il faut maintenant reprendre les choses de plus loin, 
en nous plaçant au seuil de la géométrie. 
Cette science n’étant que celle des intervalles, et l’intervalle 
lui-même n’étant, a priori, qu’un nombre caractérisant un 
couple de points, on peut imaginer d’abord un système de 
géométrie dans lequel tous les intervalles seraient arbitraires. 
Prenons, par exemple, 1 000 points dans l’espace, lesquels 
auront entre eux 499 500 intervalles. Puis, choisissons 
499 500 nombres au hasard, et attribuons l’un de ces nombres 
à chacun des intervalles. Imaginons ensuite que l’imposition 
d’un nombre à chaque intervalle soit continuée, sinon pour 
tous les points de l’espace, du moins pour tous ceux que l’on 
aura à considérer spécialement dans le cours d’une opération 
déterminée. On aurait ainsi un système complet de géométrie. 
Mais ce serait une géométrie rudimentaire, se réduisant à un 
catalogue des intervalles des points de l’espace et sans relations 
possibles entre ces intervalles, puisque ceux-ci ont été choisis 
air hasard. 
?. Si l’on veut qu’il existe une géométrie, dans le sens ordi¬ 
naire de ce mot, c’est-à-dire une géométrie comprenant des 
relations, des formules entre les intervalles, il faut donc se 
poser le problème suivant : 
Choisir les nombres correspondant aux intervalles des couples 
de points de l’espace, non plus d’une façon tout à fait arbitraire, 
mais de manière qu’il puisse exister entre ces nombres des rela¬ 
tions générales, d’ailleurs quelconques. 
Et si le problème ainsi posé, sans introduction d’aucune 
condition supplémentaire, sans aucun appel à l’expérience, 
conduisait à une solution déterminée, dans laquelle il ne res¬ 
terait plus ensuite qu’à fixer la valeur d’une constante pour 
retrouver les formules connues de la géométrie, il me semble 
que la philosophie des sciences mathématiques aurait fait un 
pas décisif. 
C’est ce que je vais essayer de réaliser dans la mesure de mes 
