forces et en signalant ce qui laisse encore à désirer au point 
de vue purement analytique. 
8. Le point de départ est donc celui-ci : si nous voulons qu’il 
existe une géométrie théorique, nous devons admettre qu’on 
ne puisse pas augmenter indéfiniment le nombre des points 
choisis dans l’espace, en laissant tous les intervalles arbitraires ; 
on devra donc s’arrêter à un nombre n de points, à partir 
duquel il existera au moins une relation entre les nin ~ d - inter¬ 
valles correspondants. 
De plus, si l’on veut que les formules de la géométrie soient 
non pas locales (*), mais applicables à l’espace tout entier, il 
faudra, non seulement que le nombre n soit le même dans tout 
l’espace, mais encore que la relation ou les relations entre les 
--- 7 — 1 -- intervalles soient aussi les mêmes. 
». Lorsque le nombre de points à partir duquel les inter¬ 
valles ne sont plus tous arbitraires, est égal à n, on dit que la 
géométrie est de la n — 2 e espèce {**), ou à n — 2 dimensions. 
Étant admis que dans cette géométrie les n n ~ - i] intervalles 
de n points ne sont pas tous arbitraires, on peut se demander 
combien de relations il existe entre eux. D’abord, on ne peut 
en admettre plus de n — 1, car si l’on supposait qu’il en 
existât n , distinctes et non contradictoires, on pourrait, entre 
elles, éliminer les n — 1 intervalles de l’un des points à tous 
les autres, et il resterait une équation entre les intervalles de 
ces n — 1 autres points. La géométrie considérée ne serait 
donc en réalité qu’à n — 3 dimensions. 
(*) Un exemple de formules locales serait donné, dans la géométrie 
à trois dimensions, par les formules applicables seulement aux points 
d’une surface ou d’une ligne; mais on peut évidemment les concevoir 
autrement, et on les étudierait comme nous allons le faire pour l’espace 
tout entier, en ayant soin de ne choisir que les points répondant à ces 
formules locales. 
(**) Il est tout naturel qu’il faille déduire 2 unités, car un seul point 
ne donne pas d’intervalle, et 2 points (ou un seul intervalle) ne donnent 
pas de relation. Il en faut donc au moins 3 pour constituer la première 
espèce de géométrie, donc n pour la n — 2 e espèce. 
