10. Mais je dis, de plus, que le nombre des relations ne 
peut surpasser l’unité. 
En effet, considérons d’abord trois points, dans l’espace à 
n — 2 dimensions dont il s’agit. 
Si, entre leurs trois intervalles, il existait deux relations, il 
s’ensuivrait qu’un de ces intervalles déterminerait les deux 
autres. Ainsi, étant donnés deux points A et B, l’intervalle AC 
serait déterminé d’avance, quel que fût le troisième point C que 
l’on choisirait, et puisque nous voulons que les formules soient 
les mêmes dans tout l’espace, on en conclut immédiatement 
qu’à tous les couples de points de l’espace correspondrait un 
seul et même intervalle (*). Nous ne dirons pas que cela est 
impossible; car cela ne l’est pas, analytiquement parlant, et 
nous ne voulons rien emprunter à l’expérience. Nous dirons 
seulement que ce système de géométrie est à prendre ou à 
laisser, et nous écarterons cette solution insignifiante, pour 
continuer la recherche des autres solutions du problème. 
Ainsi donc, entre nos trois intervalles, il ne peut exister 
deux relations. 
S’il en existe une seule, nous sommes dans les termes de 
l’énoncé : on a alors n = 3, et la géométrie est à une seule 
dimension. 
S’il n’en existe pas, il est acquis que nous pouvons fixer 
arbitrairement les trois intervalles entre trois points (**). 
Considérons alors un système de quatre points. Les trois 
premiers (1, 2, 3) peuvent être pris au hasard quant à leurs 
intervalles. Le système (1, 2, 4) peut aussi être pris arbitraire¬ 
ment, c’est-à-dire que les intervalles (12), (13), (14), (23), (24) 
peuvent être pris arbitrairement, d’après ce qui précède. 
Alors (34) est déterminé ou ne l’est pas. 
(*) Il en serait ainsi, tout au moins, si les relations existantes ne 
donnaient qu’une seule valeur pour l’intervalle calculé, et l’on voit 
aisément ce qui arriverait dans le cas des valeurs multiples. 
O Au moins dans de certaines limites. On veut dire que deux d’entre 
eux ne déterminent pas le troisième, mais lui laissent encore une infinité 
de valeurs possibles, formant suite continue. Cette observation se repro¬ 
duira plus loin. 
