Dans le premier cas, nous retrouvons notre énoncé. Il existe 
une seule relation entre les 6 intervalles des 4 points, et n ~ 4. 
Dans le second cas, il est acquis que les 6 intervalles de 
4 points peuvent être pris arbitrairement. 
Dès lors, considérons 5 points : 1,2, 3,4,5. Le système 
(1,2,3,4) est arbitraire. Il en est de même du système (1,2,3,5). 
Donc les intervalles (12), (13), (14), (15), (23), (24), (25), (34), (35), 
peuvent être choisis au hasard, et il ne reste à fixer que (45). 
Continuant ainsi de proche en proche, on verra clairement 
que si la géométrie considérée est d’ordre n~ 2 , mais irréduc¬ 
tible à un ordre moindre, il n’existe entre les n n J- 1; inter¬ 
valles de n points qu’une seule relation analytique, nécessaire¬ 
ment symétrique par rapport aux intervalles. 
fl. C’est cette relation dont il faut chercher la forme, 
d’après la seule condition qu’elle puisse exister sans contra¬ 
diction pour tous les groupes de n points dont on peut 
remplir l’espace. 
Les géométries à une et à deux dimensions étant comprises 
dans la géométrie à trois dimensions (comme on le sait et 
comme on le verra ci-après), et la géométrie à plus de trois 
dimensions n’ayant aucune application en dehors de l’analyse 
pure, nous prendrons comme exemple, dans ce qui va suivre, 
la géométrie à trois dimensions, c’est-à-dire que nous suppo¬ 
serons n — 2 = 3, d’où n = 5, et nous aurons à considérer la 
relation entre les 10 intervalles de 5 points. 
fl 3. Représentons provisoirement cette relation par 
+ l('l k 4 ...(45)] = O, 
ou, pour abréger, par 
(12345) = 0. 
Les 10 intervalles de ces 5 points étant connus, cherchons 
à y ajouter un sixième point et à déterminer les 5 intervalles 
supplémentaires (16),... (56). On peut choisir au hasard trois 
intervalles tels que (16), (26), (36), mais alors (46) et (56) ne sont 
plus arbitraires, car ils doivent satisfaire respectivement aux 
