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illimité de points emplissant l’espace. Ce sera donc, dès lors, 
la véritable condition d’existence d’un système de géométrie. 
Supposons que la relation ^ soit vérifiée pour tous les 
groupes de 5 points d’un système de n points, et démontrons 
que l’adjonction d’un n I e point n’empêchera pas de déter¬ 
miner tous les intervalles de manière à répondre à la même 
condition. 
Soient A, B, C, 1, 2,... (n — 3), les n points donnés. 
Prenons au hasard les intervalles du nouveau point (n — 2) 
aux points A, B, C; puis déterminons les intervalles 
[!(» — 2)], [2(n-2)_], . 
par les relations 
[ABC1 (n — 2)] = 0, 1 
[A’ISC-2 (n — 2)] = 0, / 
* I 
■ 
[ABC (n — 3) (n — 2)] = 0. ] 
11 faut démontrer que l’on aura nécessairement : 
[; pjjrs (n — 2)] = ü, 
p, q, r, s étant des nombres quelconques pris dans la suite 
1, 2,... (n — 3), ou bien des lettres prises parmi A, B ou C. 
Pour cela, considérons d’abord le système de 6 points 
A, B, C , p, < 7 , n — 2. 
On a, dans ce système : 
ABC pq) == O (puisque ce sont des points du système 
primitif), 
[ABCp(fî — 2)] =b 0, 
[ABC q(n - 2)] = 0 
[d’après les équations (5)]; 
donc, en vertu de la condition des six points : 
[AB pq (n — 2)] = 0 , .... (4) 
