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à la limite, mais ici nous considérerons les deux solutions 
comme distinctes. 
15 . Il est assez facile de démontrer que ces deux formes 
analytiques vérifient la condition des six points (*); mais la 
réciproque peut être plus difficile, et il reste ici, dans la 
géométrie analytique générale, une lacune qu’il ne faut pas 
dissimuler. 
On pourrait soutenir qu’en dehors des deux formes trou¬ 
vées, il en existerait une troisième, distincte des deux autres, 
vérifiant également la condition des six points, et par consé¬ 
quent capable d’exprimer la relation entre les 10 intervalles 
de o points de l’espace. 
En attendant que cette question soit complètement résolue 
par l’analyse pure, nous montrerons plus loin que la décou¬ 
verte d’une nouvelle fonction, si elle était possible, ne condui¬ 
rait pas à un nouveau système de géométrie, distinct de ceux 
qui résultent des deux fonctions déjà trouvées (**). 
16 . Système géométrique ou analytique d'intervalles. Nous 
avons vu, au n° 6, comment on pourrait imaginer un système 
idéal d’intervalles, sans relations entre eux. Lorsque les inter¬ 
valles satisfont, au contraire, à l’uné des relations du n° 14, nous 
dirons qu’ils constituent un système géométrique. Il est facile 
de former, d’une infinité de manières, un pareil système, 
comme nous l’avons déjà vu (n° 13). Je dis d’une infinité de 
manières, non seulement parce que la forme <p est arbitraire 
dans les relations (8) et (9), mais aussi parce que, pour chaque 
point que l’on ajoute au système, on peut prendre arbitrai¬ 
rement trois intervalles. 
17 . Nous allons maintenant étudier les propriétés des sys¬ 
tèmes géométriques en prenant comme exemple celui des deux 
déterminants qui donne lieu aux calculs les plus simples; mais 
tout ce qui se fera pour celui-là pourra se répéter sur l’autre, 
ainsi que cela sera indiqué sommairement. 
fi) Voir la Note II, due à M. Mansion. 
(**) Voir la Note IV. 
