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18 . Système de coordonnées. Pour faire cette étude, il con¬ 
vient, conformément au titre de ce mémoire, d’introduire des 
coordonnées, destinées à simplifier les calculs, à les rendre 
symétriques et à les rapprocher de ceux de la géométrie 
analytique usuelle. 
Tout le monde a dû se dire, en lisant un traité de géométrie 
analytique, que les calculs de cette science pourraient bien 
remplacer avantageusement certains raisonnements de la géo¬ 
métrie ordinaire, et peut-être supprimer des postulatums. 
Malheureusement, le point de départ, c’est-à-dire la défini¬ 
tion même des coordonnées et l’équation de la droite, s’ap¬ 
puyait sur la géométrie ordinaire, et il y avait donc cercle 
vicieux. La relation analytique (8), indépendante de l’expé¬ 
rience, que nous possédons entre les intervalles des points, va 
nous permettre d’arriver aux équations de la ligne droite, du 
plan, etc., et par suite de pousser jusqu’au bout la géométrie 
analytique, avec des coordonnées définies autrement que celles 
de la géométrie analytique ordinaire, mais qui, au fond, seront 
les mêmes. 
f ». Considérons les deux points 1 et 2, et rapportons-les 
à trois autres points de l’espace A, B, C, dont les intervalles 
sont AB, AC, BC. 
A cet effet, adoptons d’abord comme coordonnées de A les 
quantités x a , y a , 0; de B, x b , y b , 0 ; de C, x c , y c , 0; les six 
quantités x a , ... y c satisfaisant aux trois équations 
{x a — x b f -t- (y a — y b f = f (AB), ) 
{x a — x c y (y a — y c f = ? (AC), > . . . . (10) 
[x b — x c f h- (y b — y L y = ? (BC). J 
Ces équations ne contiennent, en réalité, que quatre incon¬ 
nues distinctes, c’est-à-dire les quatre différences figurant dans 
les deux premières équations. 
Si l’on se donne au hasard l’une de ces différences, on cal¬ 
cule facilement les trois autres. Il y a plusieurs solutions, mais 
on choisira arbitrairement l’une d’entre elles. Ensuite, on 
pourra encore se donner arbitrairement deux des six coordon- 
