( 18 ) 
1, 2, 3, A, B. Nous aurons : 
(17) 
0 
1 
l 
0 
1 
(æ, — Xç>f 4- [y { — y 2 f [z, — z 2 ) 2 
1 
(Xi - x a f 4 - (y l - y a Y 4 - z 1 
1 
[x { - Xof 4 - (y, — y b y 4 - z 2 
1 
(Xi x ô)‘ 4 - (?/ 1 — y Y) 2 4 - (z, z 3 ) 2 
1 
(x, — xtf [y { - ytf + 
0 
(X-i — X a Y 4- (// 2 — ya)~ ■+■ j 
(x 2 — X b )~ H- (î / 2 — Î/&V 4- ] 
f (25) 
On voit que ©(23) = (x% — £3)2 h - ( y % — 2/3)2 4- (z^ — £3)2 
satisfait à l’équation, comme cela devait être; mais il n’est plus 
vrai ici que l’on puisse remplacer z 3 par — 33 ; cela ne chan¬ 
gerait pas le teribe en zl, mais bien le terme (34 — £ 3 ) 2 . Toute¬ 
fois, ce n’est là qu’une cause de doute et non une preuve de 
l’inexactitude du résultat (, x g — «r 3 )2 -+- (y% — y 3)2 4 - (z% -+* ^3 -• 
11 ne suffirait pas même de prouver que (x% — # 3 )- ■+• 
(y% — 2 / 3)2 4- (Z.! 4 - * 3 )2 n’est pas ici la seconde racine algé¬ 
brique de l’équation. Il faut que, même accidentellement, ou 
pour certains points, la seconde racine ne puisse pas être 
numériquement égale à cette quantité, sans quoi le doute 
subsisterait. 
La solution complète de cette difficulté sera donnée dans la 
Note I, et il en résultera que l’expression 
m 
? ( mn ) = ( x m — x n f 4- ( y m — y ,,) 2 4- ( z m — z n f 
p«i 
[s i 
,f • 
IDIIj ; 
est toujours exacte et conduit à la valeur de l’intervalle [mn), 
dans tous les systèmes géométriques répondant au premier 
déterminant. Il faut remarquer que cette formule est tout à 
fait générale, parce qu’elle contient, comme cas particuliers, 
les formules ( 10 ), ( 11 ) et ( 12 ). 
~h 
24. Ligne droite. — C’est la ligne, ou la suite de points du 
système, telle que si l’on en considère trois points, aucun 
