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Or les équations (18) et (19) ne peuvent donner, comme on 
le vérifie aisément, d’autres solutions réelles que x 4 = a\ ; , 
y 4 = y 3 , z 4 = ^ 3 , et nous écarterons bientôt (n os 28 et 29) les 
coordonnées imaginaires. 
Il est facile de voir, au contraire, que si les coordonnées 
# 3 , t/ 3 , £3 ne vérifient pas les équations (18), les équations (19) 
pourront toujours subsister sans entraîner les conditions 
*3 = *4. 03 = 24. £3 ~ *4- 
Ainsi les équations (18) représentent bien une ligne droite, 
et cela dans tous les systèmes correspondant au premier déter¬ 
minant, quel que soit ©. 
25 . Longueur de la ligne droite entre deux points. —Nous 
définirons cette longueur comme étant l'intégrale de l’inter¬ 
valle élémentaire entre deux points, lorsque z varie d'une 
manière continue, et le calcul nous montrera que cette lon¬ 
gueur est déterminée. 
On a : 
« [ds) = dx~ - 4 - dy 1 -+- dz*, 
ou : 
l /7[ds) = \/dx* -t- dif -t- dz\ 
L’intégrale de 1 dx% -t- dy- -+- r/s 2 entre x^t/t ,s 4 et x.j.ÿj, Sj, 
lorsque les coordonnées restent soumises aux relations 18), est, 
analytiquement : 
1/(x, — X 2 ) 2 -+- (iji — ijif -+- (z, — Zzf . 
On a donc : 
[,/V ? 7*j]' = i/ ? (tü). 
Pour la forme particulière <p(æ) = Ax-, il vient 
c’est-à-dire qu’alors, mais alors seulement, la longueur totale 
