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de la ligne droite coïncide avec l'intervalle entre les deux 
extrémités, et, par suite, le long d’une pareille ligne, les inter¬ 
valles s’ajoutent. 
Pour toutes les autres formes de ©, cette propriété n’existe¬ 
rait pas. et c’est là ce qui exclut ces formes et laisse unique¬ 
ment subsister le déterminant (8), avec v,x\ = Au-, ou bien 
encore, en multipliant la première ligne par k et divisant les 
cinq dernières colonnes par A’, on retrouve simplement le 
déterminant, tel qu’il a été donné par Cayley. 
26. Si deux des cinq points viennent à coïncider, par 
exemple 1 avec 2, la valeur de ©(12), ou &(12)2, et par consé¬ 
quent aussi la valeur de (12) devient 0, et l’intervalle entre 
deux points qui coïncident est nul, propriété qui aurait pu 
être rangée parmi les conventions préliminaires. On pourrait 
aussi considérer comme une convention de ne jamais attribuer 
la valeur 0 à l'intervalle de deux points qui ne coïncident pas. 
Nous y reviendrons bientôt. 
27. Mais ici se place une observation très importante et 
une troisième condition à remplir par notre système de 
géométrie. 
Nous en avons, en effet, découvert déjà deux. 
L'une, que l'on peut appeler la condition d 'homogénéité, est 
remplie par le choix de la fonction 6, exprimant la relation 
entre les dix intervalles de cinq points quelconques, pris n'im¬ 
porte où. Elle est indispensable pour l’existence d'un système 
géométrique d’intervalles des points de l’espace. 
La seconde, que l'on peut appeler la condition de mesure , 
est remplie par le choix de la fonction ©, exprimant que le 
long d'une ligne droite les intervalles s'ajoutent. 
Cette condition n'est pas absolue. Si l'on commençait 
l’étude d’un système de géométrie avec une fonction © quel¬ 
conque, on s’apercevrait que le long de la ligne droite, ce ne 
sont pas les intervalles (tels qu'ils ont été primitivement réglés) 
qui s’ajoutent, mais bien des fonctions de ces intervalles. On 
