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pourrait admettre cette convention, ou bien, si on le voulait, 
il serait encore temps de corriger la fonction cp, de manière à 
remplir la condition de mesure des droites, comme elle est 
remplie dans la géométrie usuelle. 
La troisième condition peut s’appeler la condition de con¬ 
tinuité géométrique. Elle est encore moins indispensable que 
la seconde, puisque nous avons réussi à nous en passer jusqu’à 
présent, mais il importe de la définir nettement (*). 
28 . Nous avons vu au n° 19 que tout point de l’espace (tel 
que 1) a été déterminé d’abord par les trois intervalles qui le 
séparent respectivement des points fondamentaux A, B, C. On 
peut, uniquement pour simplifier, et pour écarter des idées 
inutiles, supposer que ces trois intervalles, ainsi que les inter¬ 
valles (AB), (AC), (BC) eux-mêmes, soient des nombres réels. 
Mais de là ne résulte pas encore que les coordonnées 
du point 1, soient aussi des nombres réels, même après avoir 
particularisé la fonction cp et admis la forme <p(Æ) = kx-. 
La résolution des équations donne à cet effet les conditions 
suivantes : il faut que, dans chacun des quatre systèmes de trois 
points que l’on peut former avec les quatre points A, B, C, 1, 
un intervalle quelconque soit plus petit que la somme des 
deux autres, et en outre il doit exister, entre les intervalles 
donnés, une inégalité supplémentaire (**’). 
Si donc on veut déterminer les points par des coordonnées 
réelles, il faut limiter le choix arbitraire des intervalles (AB), 
(AC), (BC), (Al), (Bl), (Cl), etc., de manière que ces conditions 
soient remplies. 
Réciproquement, si les coordonnées x a , \) a ', x b , y b ; x e1 ;/ c ; 
aq, y { , Z[ sont réelles, il n’y a pas de doute sur la réalité des 
O On pourrait croire que nous avons déjà supposé la continuité au 
n° 25, lorsque nous avons cherché la longueur de la ligne droite; mais 
il ne s’agissait là que de continuité analytique. 
La longueur est définie par l’intégrale de 1/ dx- h- dij^ d'J, sans que 
l’on suppose l’existence géométrique des points; les intervalles s’ajoutent 
analytiquement pour toutes les valeurs de ar, y , z, répondant aux équa¬ 
tions; ils s’ajoutent géométriquement là où les points existent. 
(**) Voir, à ce sujet, la Note V, due à M. Goedseels. 
