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restent soumises aux équations (23), est analytiquement : 
1 db x 4 .r 2 ± y .ri. ± z.z» 
arc cos —-. J J (*) 
l // ( I rit a \ zb y\ riz z\) (t zfc x\ riz ?/ 2 riz zf) 
On a donc : 
[ J 1/1 — ? 2 (ds) j* = arc cos ? (t 2). 
Pour la forme particulière cp(æ) = cos kx, il vient : 
Mi “ (12), 
c’est-à-dire qu’alors, mais alors seulement, la longueur totale 
de la ligne droite coïncide avec l’intervalle entre les deux extré¬ 
mités, et tout se passe comme dans la géométrie ordinaire, 
résultant du premier déterminant (**). 
37 . Toutefois, la constante k ne joue pas ici le même rôle. 
Dans la géométrie ordinaire, on avait trouvé 
ÿ (x) = kx~, 
et alors, que la constante fût réelle ou imaginaire, elle dispa¬ 
raissait dans le déterminant. 11 n’en est pas de même ici, et à 
partir de ce moment il faut distinguer deux cas : 
38 . 1° k imaginaire. Nous ne supposerons pas que cette con¬ 
stante soit une imaginaire complète, de la forme a + fl/ — 1, 
car alors il deviendrait impossible de rendre réelles les valeurs 
des intervalles entre les points. On aurait une géométrie abso¬ 
lument imaginaire, et nous exclurons ce cas. Nous rempla¬ 
cerons donc simplement k par k'\/ — 1, ou cos kx par 
cos k'x 1/ — 1 , ou encore par ch k'x , k' étant maintenant réel. 
Les conditions d’homogénéité et de mesure sont remplies. 
Étudions celle de la continuité. (AB), (AC), (BC) seront choisis 
O h est à peine utile de faire observer que les expressions cos et 
arc cos n’ont ici qu'un sens purement analytique. 
C*) Voir, au sujet des propriétés de la ligne droite, la Note VI. 
