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pas que y$ et %% soient réelles et finies pour déterminer un 
point de l’espace. Il faut, de plus, que l’on ait : 
-+- y\ -+- z\ 1 . 
Si la droite menée par le point A, dans le plan C, a, pour 
l’une de ses équations 
x— ar, = a(z — z { ) 
et si l’on cherche à donner à la somme x\ y\ -t- z\ sa valeur 
limite, égale à l’unité, on trouvera pour a deux valeurs réelles 
inégales, satisfaisant à cette condition, et pour ces deux valeurs 
l’intervalle entre le point 2 et tout point déterminé de la 
droite B est infini. 
Ainsi donc, par un point on peut mener deux parallèles ou 
asymptotes à une droite donnée, une de chaque côté. 
Toutes les droites comprises dans le plan de ces deux paral¬ 
lèles, et dans deux des angles qu’elles forment, sont aussi des 
parallèles, en ce sens qu’elles ne rencontrent pas la droite 
donnée, mais elles s’en écartent de plus en plus. 
On voit que, sauf en ce qui concerne le parallélisme, la 
ligne droite jouit des mêmes propriétés que dans la géométrie 
ordinaire. 
Ces systèmes de géométrie, en nombre infini, mais ne diffé¬ 
rant entre eux que par la valeur du paramètre k ', sont les 
géométries pseudo-sphériques, ou simplement abstraites, expo¬ 
sées en premier lieu par Lobatschewsky et Bolyai. Gauss 
paraît en avoir eu connaissance antérieurement à leurs écrits, 
et les premiers principes de cette géométrie ont été indiqués 
(mais en les considérant comme faux) par le P. Saccheri, dans 
un ouvrage daté de 1733. Quand on prend k' = 0, on rentre 
dans la géométrie ordinaire. 
48 . 2° Soit maintenant k réel, dans <p(#) = cos kx. On peut 
aussi, évidemment, le supposer positif. Nous définirons nos 
