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coordonnées en adoptant les signes supérieurs, ce qui rend 
tous les cosinus inférieurs à l’unité, comme cela doit être. 
Les conditions de réalité sont toujours analogues à celles 
des deux autres systèmes de géométrie; mais ici, conformé¬ 
ment au premier système (et contrairement au second), les 
coordonnées pourront varier de — oo à -+• oo. 
11 n’en sera pas ainsi des intervalles eux-mêmes, comme 
nous allons le voir. 
D’abord, les intervalles tels que o n’entrant dans aucune 
formule autrement que par la fonction cos ko, qui est pério¬ 
dique, on est tenté de croire que ces intervalles puissent être 
augmentés ou diminués à volonté d’un multiple quelconque 
de y (avec ou sans changement de signe); mais nous avons 
renoncé à cette faculté, par la manière dont nous avons opéré 
l’intégration au n° 36. L’arc cos qui entre dans l’intégrale 
représente un arc compris entre 0 et tt, et comme cet arc se 
réduit finalement à k( 12), on voit que la valeur maximum 
de (12) est j . 
Ainsi, dans ce système de géométrie, l’intervalle de deux 
points ne peut jamais dépasser et si, parmi les intervalles o 
choisis arbitrairement, il y en avait de plus grands, il faudrait, 
pour satisfaire à ce que nous avons appelé la condition de 
mesure, les ramener entre 0 et sans changer le cosinus 
de ko. 
43 . Nous rencontrons donc ici une complication qui ne se 
présentait dans aucun des systèmes antérieurs. 
Il en est une seconde, consistant en ce que la formule 
cos 2 A'(12) = 
(1 .r,x 2 y ,î/ 2 z { z,)- 
(1 
yî + *ï)( i 
9 
.T| 
yl 
z\) 
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ne détermine pas complètement la valeur de (12), contraire¬ 
ment à ce qui arrivait pour k( 12)2 et pour ch- A*(12), dans les 
deux systèmes antérieurs. 
Si Ton exécutait un calcul numérique, le doute disparaî- 
