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trait : la valeur à conserver pour le cosinus serait l’unique 
racine commune à l’équation (24) et à celle qui provient du 
déterminant (9); mais a priori il paraît difficile de prévoir si le 
cosinus aura le signe +- ou le signe —. 
S’il était prouvé qu’il fallût toujours prendre le signe h-, il 
en résulterait que l’intervalle de deux points, non seulement 
ne pourrait dépasser j, comme cela est déjà démontré, mais 
ne pourrait dépasser ^ . 
Des géomètres de grand mérite (*) ont traité cette troisième 
espèce de géométrie en assignant à l’intervalle de deux points 
le maximum d’autres (**) ont adopté le maximum 
d’autres enfin (***) ne se prononcent pas entre les deux solu¬ 
tions. 
Dans mon Essai sur les principes fondamentaux de la géomé¬ 
trie et de la mécanique , j’ai admis comme seul maximum pos¬ 
sible^ (avec d’autres notations); mais j’en ai donné des raisons 
géométriques; et j’admets que dans une exposition encore 
plus abstraite que la mienne, on puisse soutenir la thèse 
opposée. 
Après examen nouveau, je maintiens ma manière de voir, et 
je vais en donner la raison. 
44 . D’abord, en supposant que le point 2, parti du point 1, 
se meuve sur la droite 12 d’une manière continue, on voit bien 
que la fonction cos k (12), partie de la valeur 1, ne peut avoir 
aucun minimum entre 1 etO; 0 lui-même ne peut être un 
minimum que si l’on rejette les valeurs négatives ; et si on ne 
les rejette pas, on ne trouve pas d’autre minimum que —1. 
Ainsi il n’y a que deux minimums possibles : 0 ou —1, et par 
conséquent deux maximums possibles pour l’intervalle : ~ 
T 
ou - k . 
O Klein, Mathemcitische Annalen, VI, p. 125; VII, p. 549; IX, p. 476- 
C) Frischauf, Elementen der absoluten Geometrie, Leipzig, Teubner, 
1876. 
(***) Newcomb (Journal de Crelle , 1877, LXXXIII, p. 293). 
Tome XLVII. 
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