( 34 ) 
Pourrait-on établir une géométrie où existerait le premier 
de ces maximums? On le peut artificiellement, non seulement 
pour mais même pour tout maximum inférieur, aussi petit 
que l'on voudra. En effet, les intervalles pouvant être pris 
arbitrairement, rien n’empêche d’assigner à ceux qui séparent 
les points 1, 2, 3, ... des points fondamentaux A, B, C, des 
valeurs moindres que la moitié du maximum dont il s’agit. 
Dès lors, tous les intervalles calculés (12), ... devant être 
moindres que (IA) -+- (2A), ..., seraient effectivement infé¬ 
rieurs au maximum supposé. 
Mais je répète que ce serait là une création artificielle, parce 
que, dans la géométrie ainsi construite, la loi d’homogénéité 
de l’espace ne se vérifierait pas. Cette loi exige, en effet, que 
l’on puisse, sur une droite quelconque, à partir d’un point 
quelconque, porter tous les intervalles inférieurs au maxi¬ 
mum et qu’alors tout intervalle calculé au moyen des pré¬ 
cédents se trouve aussi inférieur à ce maximum. Or, cette 
condition est analytiquement irréalisable pour tout maximum 
inférieur à j. Nous allons le faire voir nettement pour le pré¬ 
tendu maximum^. 
Il faut s’occuper,' en premier lieu, du signe des radicaux 
qui figureront aux dénominateurs des cosinus des intervalles, 
lorsque, pour obtenir le numérateur, on se borne à supprimer 
l’exposant 2 dans les formules (20), (21) et (22). 
On voit d’abord que dans les formules (21), les trois radi¬ 
caux peuvent être pris de même signe; cette hypothèse suffit 
pour déterminer entièrement les valeurs de x h y , et et dès 
lors le signe du radical se trouve aussi déterminé. Il en est de 
même pour le point 2. 
On verra de plus, dans la Note III, que si les six radicaux 
de 1 et 2 sont tous positifs ou tous négatifs, le radical de (12) 
est positif, tandis que si trois radicaux sont positifs et les trois 
autres négatifs, le radical de (12) est négatif. 
Supposons maintenant que nous déterminions a priori les 
douze quantités x aj x b , x n y a , y b% y cy x, h y, h x%, y%, z*, de 
