( 36 ) 
aussi, et comme le numérateur est négatif, le cosinus de k( 12) 
est négatif, et l’intervalle (12) est forcément plus grand que 
ce qui montre l’impossibilité de l’hypothèse. 
La même impossibilité n’existe pas quand on prend le 
maximum égal à Dans cette nouvelle hypothèse, la valeur- 
limité de cos k( 12) est —1, ce qui ne peut arriver que pour 
Xü 2 =aq, y 2 = y\, z^= z i . On est donc obligé alors de renon¬ 
cer à représenter par trois coordonnées un point unique de 
l'espace; tout système de trois coordonnées représente deux 
points, distants entre eux du maximum ~ et que nous appel¬ 
lerons opposés. La formule cos 2 A: (12), considérée isolément, 
et abstraction faite des relations des points 1 et 2 avec d’autres 
points, donne deux cosinus positifs et deux négatifs, corres¬ 
pondant à quatre intervalles : deux plus petits que ^ et deux 
plus grands. 
45 . Je répéterai ici que je ne conteste nullement la possibi¬ 
lité d’établir des théories plus abstraites que les miennes ; mais 
dans mes conceptions, qui restent toujours réelles et maté¬ 
riellement réalisables, il n’y a que trois systèmes de géométrie 
possibles : celui d’Euclide, celui de Lobatschewsky et celui 
dont je traite en ce moment (mais avec l’intervalle maximum 
~ et non et qui paraît avoir été considéré en premier lieu 
par Riemann. 
46 . Dans cette dernière géométrie, toute droite, tout plan, 
toute ligne ou toute surface ayant des équations déterminées 
(et assujettie à contenir tous les points dont les coordonnées 
satisfont à ces équations), contient nécessairement les opposés 
de tous ses points. 
La ligne droite se ferme donc comme les grands cercles de 
la sphère, et toutes les propriétés relatives à deux points d’une 
droite subissent une exception quand ces deux points sont des 
pôles opposés. 
Deux droites quelconques se coupent donc en deux points 
opposés, et le parallélisme est impossible. 
