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au lieu de (8), la formule (9), avec l’une des formes <p qui 
sont possibles, et une valeur très petite, mais non nulle, de k 
ou de k'. Le fait est improbable, mais non impossible. Tant 
qu’il ne se sera pas produit, la seule géométrie à employer est 
évidemment celle qui découle de la formule (8) et qui est expo¬ 
sée dans les n os 18 à 33. 
Inanité des tentatives de démonstration des postulatums 
de la géométrie ordinaire. 
51 . Après tout ce qui précède, est-il encore nécessaire de 
réfuter l’erreur des esprits attardés qui croient pouvoir trouver 
des démonstrations théoriques des principes expérimentaux 
de la géométrie ordinaire, et en particulier du plus célèbre de 
tous, le principe de la parallèle unique, équivalent au postu- 
latum d’Euclide? 
Nous venons de voir que les systèmes de géométrie théori¬ 
quement possibles sont en nombre infini, bien qu’ordinaire- 
ment divisés en trois classes ou espèces; et que pour distinguer 
entre eux, ou même pour écarter un seul de ces systèmes, il a 
fallu invoquer l’expérience. 
Or, le principe de la parallèle unique n’est vrai que dans 
un de ces groupes; dans un autre, il y a deux parallèles (ou 
une infinité, selon la manière de l’entendre); dans le troisième, 
le parallélisme est impossible. 
Démontrer ce principe sans invoquer l’expérience équivau¬ 
drait donc à démontrer l’impossibilité, même théorique, des 
systèmes où ce principe n’existe pas, c’est-à-dire à démontrer 
le contraire de ce qui a été établi dans le présent mémoire. 
Quelle que fût, en effet, la forme de la démonstration, elle 
pourrait toujours être transformée dans les notations que nous 
avons adoptées, et en la comparant avec nos calculs, on abouti¬ 
rait finalement à une contradiction ou à la découverte d’une 
erreur matérielle. 
Il y a donc lieu d’abandonner de pareilles tentatives, et de 
reconnaître à la géométrie usuelle son véritable caractère, qui 
