HOTE IV. 
Sur rimpossibilité d’un système de géométrie non compris 
dans les déterminants (8) et (9) (n ü 14). 
Après avoir signalé (n° 14) les deux déterminants (8) et (9), 
d'où nous avons déduit les divers systèmes de géométrie pos¬ 
sibles, nous ajoutions (n° 15) : 
« On pourrait soutenir qu’en dehors des deux formes trou¬ 
vées, il en existerait une troisième, distincte des deux autres, 
vérifiant également la condition des six points, et par consé¬ 
quent capable d’exprimer la relation entre les 10 intervalles 
de 5 points de l’espace. 
» En attendant que cette question soit complètement résolue 
par l’analyse pure, nous montrerons plus loin que la décou¬ 
verte d’une nouvelle fonction, si elle était possible, ne condui¬ 
rait pas à un nouveau système de géométrie, distinct de ceux 
qui résultent des deux fonctions déjà trouvées. » 
Le moment est venu d’accomplir cette promesse, et à cet 
effet nous allons rechercher directement tous les systèmes de 
géométrie ayant en commun avec le système usuel les notions 
de la droite et du plan. 
Nous suivrons pour cela la même marche que dans mes 
Études de mécanique abstraite (*), mais en la simplifiant et la 
généralisant. Quant au principe sur lequel elle est basée, un 
quart de siècle de réflexions nouvelles ne m’en ont pas fait 
découvrir un meilleur. Dans un autre mémoire intitulé : Essai 
sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la méca¬ 
nique (**), j’ai reproduit en partie les mêmes idées, en les com- 
0 Mémoire présenté à la Classe des sciences le 1 er août 1868 et inséré 
dans le tome XXI des Mémoires in-8°. 
(**) Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bor¬ 
deaux, t. III éi e série). 
