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Le théorème de la proportionnalité donne : 
(0 
sin 2 A sin 2 B 
I 2 ~~“TF 
— cire a — cire 2 b 
4tt 2 
sin 2 C 
/.* 
4tt 2 
cire r 
et par la combinaison des équations (h)et(i), on obtient ensuite : 
k 2 
1-- cire 2 6 
4 tt 2 
Æ 2 
1-cire 2 c 
4tt 2 
(cos B h- cos A cos C) 2 
sin 2 A sin' 2 C 
(cos C -+- cos A cos B) 2 
sin 2 A sin 2 B 
Ainsi dans tout triangle, on a les cinq formules (/i), (i) et (;), 
la quantité k représentant une même constante, réelle ou ima¬ 
ginaire simple, dans les cinq formules. Il reste à voir si k est 
aussi constant en passant d’un triangle à un autre. 
Mais montrons d’abord qu’il n’y a pas d’exception pour 
k = 0. Si l’équation (h) donnait cette valeur pour k , il en 
résulterait : 
(cos A -h cos B cos C) 2 = sin 2 B sin 2 C, 
équation qui est identique à l’une quelconque de ces deux 
autres : 
(cos B -+- cos A cos C) 2 = sin 2 A sin 2 C, 
(cos C h- cos A cos B) 2 — sin 2 A sin 2 B. 
Les cinq équations existent donc encore, car dans les 
équations ( i) on aurait soin de ne pas introduire le facteur 
parasite ^ 
