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Nous allons achever maintenant ce qui se rapporte à l’hypo¬ 
thèse k — 0. 
Considérons un triangle ABC, rectangle en A. L’angle A et 
le côté c restant constants, supposons que le côté b augmente 
de db, ce qui, en vertu de la décomposition des vitesses, 
entraîne pour le côté a une augmentation égale à db cos C. 
On a : 
cire 2 a sin 2 B, 
cire 2 a sin 2 C, 
cos 2 B, sin 2 B = cos 2 C, 
cire 2 a — cire 2 b. 
Exprimons que la différentielle du second membre est nulle, 
en représentant provisoirement la dérivée inconnue de cire a 
par cp(a), et en remplaçant, après la différentiation, cos C par 
sa valeur \\ viendra, toutes réductions faites : 
cire a ’ 
?(b) = ± ?(«). 
Ce double signe, qui apparaît pour la première fois, nous 
place en présence d’une difficulté apparente, qu’il ne faut pas 
dissimuler, mais bien réduire à sa juste valeur. 
b et a sont indépendants l’un de l’autre, et la dérivée <p(a), 
que nous supposons finie, déterminée et continue, ne peut 
changer de signe qu’en passant par zéro. Si donc on ne pre¬ 
nait pas toujours le signe il faudrait admettre que la cir¬ 
conférence, qui croît d’abord avec son rayon, atteindrait un 
maximum et décroîtrait ensuite. 
Sans nous prononcer, a priori, sur la possibilité de pareilles 
variations, observons que nous avons simplement pour objet, 
dans l’hypothèse k — 0, d’établir la relation (8) entre les inter¬ 
valles de cinq points de l’espace. 
Or, nous avons admis que l’espace est homogène, en ce sens 
que la relation entre les intervalles est la même pour cinq 
(/) . 
d’où : 
\ 
cire* o 
cire 2 c 
sin 2 C 
cire 2 c 
