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Pour passer enfin des coordonnées provisoires aux coor¬ 
données définitives, nous poserons : 
X, = tg kx j ou tg kx l 1/ — 1, 
suivant que k sera réel ou imaginaire simple, pour n’avoir, 
dans les formules finales, que des coordonnées réelles; de 
même : 
Yj = tg ky { ou fg ky i l/— 1, 
Z, = tg kz { ou tg kz { [/ —- 1, 
et de même encore pour X 2 , Y 2 , Z 2 et les autres points. 
La formule deviendra : 
? 1 zb XjXc zt YiYo dz Z(Z^ 
cos kâ = - , 
l/(i dz x ; 2 ± Yf zt zj)(-i ± xi zt Yf zt z l) 
les signes supérieurs correspondant à fhypothèse où k est réel, 
les signes inférieurs à l’hypothèse où k est imaginaire. 
En l’élevant au carré, on aurait précisément la formule (22) 
du texte, puisque l’on a vu (n° 36) que <p (12) = cos k (12). 
Or on a vu aussi qu’en remplaçant les intervalles par cette 
valeur dans le déterminant (9) (n° 14), celui-ci se réduit à une 
identité. Donc, dans tous les systèmes de géométrie où k n’est 
pas nul, les intervalles de cinq points sont liés par l’équa¬ 
tion (9). 
Nous voyons, de plus, maintenant, quelle est la signification 
géométrique des coordonnées que nous avions introduites 
analytiquement dans le texte. Elle se rapproche, autant que 
possible, de la signification des coordonnées ordinaires. 
