Quelque méthode que l’on adopte, on peut remarquer que 
la ligne droite est caractérisée, dans les trois systèmes de géo¬ 
métrie, par trois propriétés : 
Ses équations sont du premier degré. 
Si l’on en considère trois points, aucun autre point de 
l’espace ne peut être distant de deux de ces points comme l’est 
le troisième. 
Le long de cette ligne, les intervalles s’ajoutent. 
Et, dans les trois systèmes de géométrie, l’admission 
d’une seule de ces propriétés suffit pour démontrer l’existence 
des deux autres, et pour définir complètement la ligne droite. 
NOTE VII. 
Sur les signes des radicaux dans les valeurs de <p(lA), <p(lB), tp (IC), 
tirées des équations (20). 
Si, des équations (20) considérées en prenant les signes 
supérieurs, on déduit les valeurs de cp(lA), cp(lB), cp(lC), en 
supprimant simplement l’exposant 2 au second membre, ainsi 
qu’au numérateur du premier, le signe du radical au dénomi¬ 
nateur du premier membre devient douteux. C’est là, nous 
l’avons déjà dit, une difficulté spéciale à la troisième espèce de 
géométrie. 
Cependant, quelques-unes des observations qui vont suivre 
sont générales et applicables aux trois espèces, mais pour les 
deux premières elles étaient en quelque sorte évidentes, et ne 
nécessitaient pas une discussion approfondie. 
On a vu, dans la Note III, qu’il y a un grand intérêt, pour la 
détermination du signe du radical dans (22), à admettre que 
dans (20) les radicaux puissent être pris positivement. 
Le système d’intervalles auquel il faut appliquer les calculs 
est donné a prioii, et nous pouvons définir nos coordonnées, 
