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La question est donc de savoir si les racines ne sont pas 
trop souvent imaginaires, jusqu’au point d’écarter des sys¬ 
tèmes d’intervalles qui seraient admissibles. 
La réponse à cette question se trouve écrite d’avance au 
n° 29 : « on ne saurait admettre des coordonnées imaginaires, 
sans être obligé d’admettre aussi des intervalles imaginaires, 
ce que nous voulons exclure » et ce qui serait contradictoire 
avec notre système d’intervalles réels donné a priori. 
Telle est donc l’assertion qui doit être justifiée. Elle le serait 
complètement si la formule (22) était établie dans l’hypothèse 
des trois radicaux positifs, car si une ou plusieurs des trois 
quantités x%, y 2 , sont imaginaires, on pourra toujours, et 
d’une infinité de manières, déterminer des quantités réelles 
X\, yi, Z\ rendant cp2 (12) négatif. Or dans la Note III, la for¬ 
mule (22) (ou f de cette Note III) est établie d’une manière irré¬ 
futable pour le cas des coordonnées réelles, et comme la valeur 
de 9(12), donnée par (/*), est la racine algébrique du déterminant 
qui précède cette équation, cette racine doit être indépendante 
du sens qu’on attache aux lettres qui y entrent. Elle est donc 
exacte même pour les valeurs imaginaires, pourvu qu’alors le 
signe du radical ait encore un sens précis. 
Ce sens peut lui être assigné d’après une règle quelconque, 
comprenant sans discontinuité le cas du radical réel. 
On voit donc que l’hypothèse des trois radicaux positifs 
dans (20) est bien légitime, parce que tous les systèmes d’inter¬ 
valles que cette hypothèse peut exclure sont exclus à bon 
droit. 
