INTRODUCTION. 
Le présent travail nous a été inspiré par l’étude du Mémoire 
sur les fonctions discontinues , de M. Darboux, et de la Note que 
M. C. Jordan a ajoutée au troisième volume de son Traité 
d’analyse. 
Nous nous proposons d’étendre, dans la mesure du possible, 
aux équations différentielles à une seule variable indépendante, 
la notion d’intégralité introduite par Riemann pour le pro¬ 
blème particulier des quadratures. De même que l’on peut 
intégrer des fonctions discontinues, nous avons voulu montrer 
que l’on peut intégrer des équations différentielles où figurent 
de telles fonctions. 
Pour simplifier cette étude, nous l’avons divisée en deux 
parties. 
La première traite de l’équation différentielle du premier 
ordre à une seule fonction inconnue; la seconde est la géné¬ 
ralisation naturelle de la première : elle s’occupe des équations 
différentielles simultanées et d’ordre quelconque. 
Nous avons divisé la première partie en trois chapitres. 
Le premier chapitre a pour objet la généralisation du théo¬ 
rème de M. Darboux (C. Jordan, Cours d’analyse , t. III, p. 360). 
Nous y établissons, pour une fonction limitée f(x, y ), l’existence 
de deux limites de sommes qui constituent une propriété géné¬ 
rale de la fonction. Dans le cas où ces limites sont égales, 
nous disons que l’équation différentielle ^ = f(x , y) est inté¬ 
grable. 
Dans le chapitre II, nous cherchons, pour la différence entre 
les deux limites dont nous venons de parler, différentes expres¬ 
sions qui doivent servir à reconnaître quand l’équation diffé¬ 
rentielle est intégrable. 
