Dans le chapitre III, nous supposons vérifiée la condition 
d’intégrabilité énoncée plus haut, nous définissons l’intégrale 
et nous étudions ses propriétés. Nous montrons de deux 
manières differentes que certaines de ces propriétés ne peuvent 
appartenir qu’à une seule fonction et nous établissons par là 
Vunité de l'intégrale. 
Nous étudions en particulier certaines équations de la forme 
ÿ-- = f{x, y), et nous montrons qu’elles peuvent s’intégrer dans 
des cas très généraux, quand f (x, y) est une fonction discon¬ 
tinue de x seulement, et même dans certains cas, quand /‘est 
une fonction discontinue de y et de x. Enfin, nous intégrons 
l’équation linéaire du premier ordre dans le cas le plus général. 
Le théorème qui fait l’objet du premier chapitre sert de base 
à tout le reste. Le mode de démonstration que nous avons 
adopté n’est peut-être pas celui qui se présente le plus natu¬ 
rellement à l’esprit et ce n’est pas celui que nous avions adopté 
d’abord. Mais notre première démonstration donnait prise à 
certaines critiques, qui nous ont été signalées par notre regretté 
et illustre maître, Ph. Gilbert, et qu’il nous a paru laborieux 
d’écarter. Nous avons préféré modifier la forme de la démon¬ 
stration et lui donner celle que nous proposons aujourd’hui. 
Les raisonnements sont simples au fond, et leur marche est 
facile à saisir, mais les notations sont difficiles à choisir et à 
rendre claires; là, pensons-nous, se trouve la principale diffi¬ 
culté du sujet. Nous nous sommes largement inspiré des nota¬ 
tions que M. Ph. Gilbert a employées dans son Cours d'analyse , 
pour traiter des questions analogues, et nous avons fait tous 
nos efforts pour rendre les nôtres aussi expressives que possi¬ 
ble. Si nous n’y avons pas complètement réussi, on voudra 
bien nous tenir compte de notre bonne volonté. 
La seconde partie du travail n’est que la généralisation systé¬ 
matique de la première, et ne soulève aucune difficulté nouvelle. 
