8 . Soient x 0 et y 0 les coordonnées d’un point intérieur à la 
région T; nous pourrons toujours déterminer X>æ 0 , de 
manière que la région rectangulaire, limitée par les abscisses 
x 0 , X et par les ordonnées y 0 — «(X — x 0 ), y 0 A(X +- æ 0 ), 
soit comprise à l’intérieur de la région T et que les contours 
de ces deux régions n’aient aucun point commun. 
4 . Partageons l’intervalle X — x 0 en un nombre arbitraire n 
de parties par les valeurs OC o ^ OC | ^ • • • Oc /{ • • • oc fi = X, et posons en 
général B* = x k — x k _ { ; à chaque abscisse x k nous ferons cor¬ 
respondre deux ordonnées Y*, y k différentes et déterminées par 
les deux sommes suivantes : 
Y* — yo -+• -+* M 2 ^ 2 -+-••• M ifîk — Y,_, h- 
yk = yo *+■ m k $ k = y k ~\ ■+• m k d k . 
Dans ces expressions : 
M* et m k sont respectivement les limites supérieures et infé¬ 
rieures de f(x, y) dans la région Fu, région limitée 
aux abscisses 
aux ordonnées 
x k -t et x k , 
yk-i a k â k , ^ 4-1 A k $ k . 
A k et a k sont des nombres déterminés par leur indice, mais 
respectivement supérieurs (ou égaux) à A et a, et inférieurs à 
des limites données. 
Nous avons en vue de démontrer le théorème fondamental 
qui suit : Si les nombres A* et a* restent toujours supérieurs (ou 
égaux) aux nombres A et a (n° 2), sans pouvoir s'annuler ni 
tendre vers zéro ni vers l’infini; si, n croissant indéfiniment, 
