Les ordonnées extrêmes de la région B* seront donc 
Y*-I ■+■ AA<2/o -+~ A(j ’ k — x 0 ) -+- (A* — A)£*, 
y h -1 — t/o — — or 0 ) — (a* — a)cf*. 
Comme jles différences (A* — A) et (a k — à) sont positives, 
la région R* sera comprise dans la région T, quel que soit k, 
si 8 * satisfait aux inégalités 
(A* — A )£* < a. (a* — a A < a, 
ce que l’on peut toujours supposer, car les différences A*— A, 
et a k — a ne peuvent surpasser des limites fixes. 
Dans le reste, nous supposerons toujours implicitement que 
ces conditions sont remplies. 
§ 2. Première forme «lu théorème 
foudamental. 
G. Théorème. — Si l’on prend A* = B, a* = b, B et b étant 
des nombi'es déterminés respectivement supérieurs à A et a, et si 
Von fait tendre tous les intervalles o k vers zéro d’une manière 
quelconque , les deux sommes 
n n 
^ n = y 0 y n = y 0 -*■ 2 
i i 
* 
tendront vers des limites finies , déterminées et invariables Y et y. 
Nous définirons d’abord nos notations, puis nous démon¬ 
trerons un lemme d’où découle aisément la démonstration du 
théorème qui précède. 
9. Notations. — Soient, comme ci-dessus, Y„ et y n les 
sommes relatives à un premier mode de subdivision N de 
l’intervalle æ 0 X, en n parties par les points tX/ o 9 fl {y • • • JL n—i 1 ^ ^ 
posons en général x ( — æ,_, = 8 ,-; représentons par B,, R 2 , ...R n 
