les régions correspondant aux intervalles , o 2 , ... 8„, et con¬ 
servons pour M,, m, et Y,-, y, les mêmes définitions qu’au 
n° 4 ; enfin, soit 8 la plus petite des quantités 8,-. 
Soient, d’autre part, a un nombre positif déterminé inférieur 
à 8, et Y' n , y’ n les sommes relatives à un second mode quel¬ 
conque de subdivisions N' de l’intervalle x 0 X en parties infé¬ 
rieures à a. Pour ce mode de subdivision N', nous emploierons 
des notations un peu différentes. 
Il y aura, par hypothèse, des points de subdivision du 
mode N' dans un intervalle quelconque 8* du mode N ; nous 
les représentons par x' ktl , x k $, ... x ktf (x' ktl pouvant coïncider avec 
x k j, en particulier, dans 8,, x t>i =#„); nous posons 
^•,1 *^*,1 , d k ÿ X k ^ X k \i ... d k , r 3 k,r X ky r —i > 
nous désignons enfin par R'.,- la région qui correspond à 8^,-, 
par Yi ti et y' kii les ordonnées qui correspondent à l’abscisse x' kji , 
par et m*,, les limites supérieures et inférieures de f 
dans R*,,. 
8 . Lemme. — Les quantités aeto étant ci-dessus définies, si 
Von prend a assez petit pour satisfaire aux inégalités 
/îBa (B — A)(? 
nba ^ (6 — a)â 
et, a fortiori , 
< (B \) 3 k 
ïéf {b — a)$ k , 
ce qui sera toujours possible dans notre hypothèse ; on aura 
Y! < Y„ + nAa 
y'n > y» — naoc. 
Démonstration. — Remarquons d’abord que les deux inéga¬ 
lités 
Y*,* <"Y*_| -+- (h — 1 )A«, 
