9 . Démonstration du théorème (n° 6). — De ce lemme préli¬ 
minaire on déduit aisément que Y n et y n tendent vers des limites 
déterminées. 
Considérons, par exemple, la somme Y n . Cette somme 
est limitée inférieurement, puisque Y„ appartient à la région T 
(n° 5); elle aura donc une limite inférieure Y (voir Jordan, 
Cours d'analyse , t. III, p. 558). Je vais démontrer que Y„ 
converge vers Y, quel que soit le mode de subdivision employé. 
Soit e une quantité donnée; par définition de la limite infé¬ 
rieure Y, on peut trouver un mode de subdivision N, pour 
lequel Y„ vérifie l’inégalité 
V^Y„<Y + l. 
Soit o le plus petit intervalle du mode N et a une quantité 
satisfaisant aux relations 
/iËa <[ (B — A)(J, n\a. < 
Considérons une somme YJ, obtenue pour un mode quel¬ 
conque de subdivision N' en parties plus petites que a ; on 
aura, par notre lemme préliminaire, 
Y Y' n <[ Y„ -4- nXa <C. Y w -+- 
2 
par conséquent, 
Y < Y' < Y *+■ f, 
et puisque £ est arbitrairement petit, le théorème est 
démontré. 
Un raisonnement analogue prouve que y n converge toujours 
vers sa limite supérieure y. 
