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§ 3. Première généralisation du théorème 
précédent. 
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10. Théorème. — Les limites Y et y restent les mêmes quand 
on substitue aux nombres B et b deux nombres moindres G et c, 
respectivement égaux ou supérieurs aux nombres A et a, ét satis - 
B C 
faisant à la relation ^ 
Pour distinguer les régions et les ordonnées calculées d’une 
part avec les nombres B et b, de l’autre avec les nombres C et c, 
nous les écrirons dans une parenthèse affectée des indices 
B ou C. 
11. Calculons d’abord les sommes (Y B )„, (//„) B et (Y„) c , (y n ) c 
pour le même mode de subdivision de X — x 0 en n parties, et 
supposons que ce soit le mode de subdivision défini au n° 4; 
puisque B > C et b > c, on voit immédiatement de proche 
en proche que toutes les régions (R A .) B enveloppent les régions 
(R 4 .) c , et que l’on aura, par conséquent, 
(YJb^OÜc 
19 . û ’autre part, conservons la valeur (Y„) c que nous venons 
de calculer, mais comparons-la à une somme nouvelle (Y') B , 
obtenue en intercalant de nouveaux intervalles dans les précé¬ 
dents : on peut obtenir des inégalités de sens contraire aux 
précédentes. 
Soit a un nombre aussi petit que l’on veut; décomposons 
tous les intervalles de premier mode de subdivision en parties 
inférieures à a. Pour cela divisons, en général, l’intervalle 8* +l 
en r parties, par les points x k , x ki2 , ... Æ* fi , ... x k , r = x k+l ; 
posons o ki = x kd - x k ,i-i ; représentons par (B 4 -.,-) b la région 
qui correspond à l’intervalle o k)i et qui intervient dans le 
