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Démonstration. — D’après l’énoncé du théorème, on peut 
toujours trouver des nombres B, C et b, c plus grands que 
zéro et tels que l’on ait 
B _C ( B > A^C^A, 
b c ’ \by>a k ^_c z ^ a 
Représentons encore par (Y*) B , {y k ) B ; (Y*) c , (y k ) c les valeurs 
de Y* et y k , lorsque l’on emploie dans le calcul des régions 
successives, au lieu des nombres variables A* et a k1 les nom¬ 
bres fixes B et b d’une part, les nombres C et c d’autre part. 
On reconnaît aisément de proche en proche, pour un 
même mode de division de l’intervalle x 0 X, que les régions 
successives calculées avec les nombres les plus grands B et b 
déborderont les régions calculées avec des nombres moindres 
A* et a k , et que celles-ci, à leur tour, déborderont les régions 
calculées avec les nombres les plus petits C et c. On aura donc, 
pour les valeurs successives de k, 
(Y5 Y * !> (Y*) c , (.yd B <! ijk <f fydc» 
et pour k = w, 
(Y m ; b > Y„ 5 ( YJc, (y n )^y n ^ [y n ) c . 
Passons à la limite en nous appuyant sur le théorème précé¬ 
dent, on aura encore 
lim Y„ = lim (Y„) B = lim (YJ C = Y, 
lim y n lim (y n ) B = lim (y n ) c = y , 
et le théorème est démontré. 
15. Remarque I. — Nous avons supposé X > x 0 , les accrois¬ 
sements o, étant par conséquent tous positifs, mais il n’y 
